关于随机过程介绍

[拼音]：suiji guocheng

[外文]：stochastic process

随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响，它本身具有随机性，因此{xn，n=1，2，…}便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。

气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的，要经过多久其混合才会变得均匀？又如，在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。

一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。

研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。

随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。

设 (Ω，F，p)为概率空间（见概率），T为指标t的集合（通常视t为时间），如果对每个t∈T，有定义在Ω上的实随机变量x(t)与之对应，就称随机变量族x＝{x(t)，t∈T}为一随机过程（简称过程）。研究得最多的是T 为实数集R＝(-∞，∞)的子集的情形；如果T为整数n的集，也称{xn}为随机序列。如果T是d维欧几里得空间Rd（d为大于1的正整数）的子集，则称x为多指标随机过程。

过程x实际上是两个变元(t，ω)(t∈T，ω ∈Ω)的函数，当t固定时，它是一个随机变量；当ω固定时，它是t的函数，称此函数为随机过程（对应于ω）的轨道或样本函数。

如不限于实值情况，可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E，ε)为可测空间（即E为任意非空集，ε为E的某些子集组成的σ域），称x=(x(ω)， ω∈Ω)为取值于E的随机元，如果对任一B∈ε，{ω:x(ω)∈B}∈F。特别，如果为Rd中全体波莱尔集所成的σ域（称波莱尔域），则取值于Rd中的随机元即d维随机向量。如果其中RT为全体实值函数ƒ=(ƒ(t)，t∈T)的集，而为包含一切RT中有限维柱集 的最小σ域，则取值于E的随机元x 即为上述的(实值)随机过程。如对每个t∈T，有取值于E 的随机元x(t)与之对应，则称{x(t)，t∈T}为取值于E的随机过程。

以下如无特别声明，只讨论取值于(R 1，B1)的随机过程。

一维分布函数描述了随机变量取值的概率规律（见概率分布），对随机过程x={x(t)，t∈T}起类似作用的是它的全体有穷维分布函数：对任意 n个tj∈T，i＝1，2，…，n，考虑的联合分布函数，，全体联合分布称为x 的有穷维分布族，它显然满足下列相容性条件：

（1）对(1，2，…，n)的任一排列(λ1，λ2，…，λn)，

；

（2）若m0，ε>0，с≥0，使得对任意的t∈[α，b]，t+Δt∈[α，b]，有，则过程的轨道以概率1在[α，b]上一致连续。设可分过程{x(t)，t∈[α，b]}随机连续，而且存在常数p>0，q>0，r>0，с≥0，使得对任意的α≤t1≤t2≤t3≤b，有

则过程的轨道以概率 1无第二类断点。正态过程的轨道性质有更好的结果:对均值函数m(t)呏0的可分正态过程{x(t)，t∈[α，b]}，只要存在с≥0，α>0，使得

，

x的轨道就以概率1连续。

这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事，它带来了许多新的研究课题，而且扩大了理论的应用范围。早在1945年，J.L.杜布关于马尔可夫链的文章中已经有了停时的思想。60年代杜布、Ε.Б.登金（又译邓肯）、R.M.布卢门塔尔等应用停时于鞅及强马尔可夫过程的研究；70年代，由于法国概率论学派的工作而使停时的理论更加完善。

直观上，停时是描述某种随机现象发生的时刻，它是普通时间变量t的随机化。例如，灯泡的寿命、一场球赛持续的时间都可看成是停时。又如，作随机运动的粒子首次到达某集A 的时刻τ，τ(ω)=inf{t>0，x(t，ω)∈A}，且约定inf═＝∞，当x 的轨道连续而且A是一个闭集时，τ就是一个停时，它是一个随机变量，而且对任何t≥0，{τ≤t}∈σ{x(u)，u≤t}。

一般地，设在可测空间(Ω，F)中已给F的一族单调、右连续、完备的子σ 域族{，t∈R+}，称定义在Ω上的非负可测函数τ=τ(ω)（可取+∞为值）为 停时，如果对任意 t≥0，总有{τ≤t}∈。这一定义的直观背景是：把理解为到t为止的全部信息，一个可观测的随机现象发生的时刻τ是否不迟于t这一信息应包含在之中。

类似于，对停时τ可以定义σ域，其中为包含一切的最小σ域。Fτ可理解为过程到τ为止的全部信息。

停时有许多好的性质，例如，若τ1、τ2是停时，则τ1∨τ2、τ1∧τ2也是停时，其中，;还有，这里表示包含、的最小σ域；进一步，若{τn}是一列停时，则也是停时。更细致地研究停时，需要对其进行分类，重要的类型有可料时、绝不可及时等。

均值和方差都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程。二阶过程理论的重要结果之一是它的积分表示。设F是可测空间(Λ，A)上的有限测度，如果对每一A∈A，有一复值随机变量Z(A)与它对应，且满足：

（1）E|Z(A)|2< ∞；

（2）则称Z＝{Z(A)，A∈A}为(Λ，A)上的正交随机测度。定义在Λ上、关于A可测而且关于F平方可积的函数全体记为L2（Λ，A，F）。给了一个正交随机测度Z，一族函数，， 就可以产生一个二阶过程，满足

(1)

它的二阶矩为

。(2)

反之，对给定的二阶过程，只要它的二阶矩有积分表示(2)，就一定存在一个正交随机测度Z，使过程本身有积分表示(1)。(1)和(2)分别称为过程x和它的二阶矩的谱表示。对均方连续的实二阶过程{x(t)，t∈[α，b)]}，则有级数展开式其中{ηn}是标准正交实随机变量序列，即；δnm=0，n=m时，δnm=1)，λn是积分方程的本征值，ψn是相应的本征函数

Γ(t，s)=Ex(t)x(s)。

对过程的概率结构作各种假设，便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单，便于研究而应用又很广泛。从它们出发，可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同，前者连续而后者则是上升的阶梯函数。

正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过程。设D为R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数φ的集，定义在D上的连续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为Dx。考虑D×Ω上的二元函数x(φ，ω)，如果对固定的ω，x(·，ω)∈Dx是广义函数，而对固定的φ，x(φ，·)是随机变量，则称{x(φ，ω):φ∈D}为定义在(Ω，F，p)上的广义过程。它在φ1，φ2，…，φn上的联合分布为

全体这种联合分布构成了广义过程x的"有穷维分布族"。前两阶矩分别称为均值泛函

和相关泛函

根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳过程、广义正态过程等。例如，若对D中任意有限个线性独立函数φ1，φ2，…，φn，有限维分布都是正态分布，则称x＝{x(φ，ω)}为广义正态过程。